Minh họa định luật thứ hai. Hành tinh chuyển động nhanh hơn gần Mặt Trời do vậy nó quét cùng một diện tích trong cùng một khoảng thời gian ở những khoảng cách lớn hơn, khi đó hành tinh chuyển động chậm hơn. Mũi tên xanh biểu diễn vận tốc của hành tinh, mũi tên tím biểu diễn lực tác dụng lên hành tinh."Đường nối hành tinh và Mặt Trời quét qua những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau."[1]

Trong một thời gian nhỏ d t {\displaystyle dt\,} hành tinh quét một tam giác nhỏ có cạnh đáy là r {\displaystyle r\,} và chiều cao xấp xỉ bằng r d θ {\displaystyle rd\theta \,} .
Diện tích của tam giác này bằng

d A = 1 2 ⋅ r ⋅ r d θ {\displaystyle dA={\tfrac {1}{2}}\cdot r\cdot rd\theta }

và do vậy tỉ số (vận tốc quét)

d A d t = 1 2 r 2 d θ d t {\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\tfrac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}} phải là hằng số.Chứng minh của Isaac Newton về định luật hai Kepler, miêu tả trong cuốn Principia Mathematica.

Theo định luật thứ nhất quỹ đạo của hành tinh là elip, do vậy hành tinh chuyển động nhanh hơn khi tiến đến gần Mặt Trời và chuyển động chậm dần khi đi xa Mặt Trời. Hay nó quét những khoảng diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau.

Diện tích elip là

A = π a b . {\displaystyle A=\pi ab.\,}

Do vậy nếu

P {\displaystyle P\,} là chu kỳ quỹ đạo

sẽ thỏa mãn

π a b = P ⋅ 1 2 r 2 θ ˙ {\displaystyle \pi ab=P\cdot {\tfrac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}}

hay

r 2 θ ˙ = n a b {\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=nab}

với

θ ˙ = d θ d t {\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {d\theta }{dt}}}

là vận tốc góc, và

n = 2 π P {\displaystyle n={\frac {2\pi }{P}}}

là chuyển động trung bình của hành tinh quanh Mặt Trời.

Chứng minh định luật Kepler thứ hai

Chứng minh bằng định luật bảo toàn mô men động lượng Theo trên đã đưa ra công thức d A d t = 1 2 r 2 d θ d t {\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\tfrac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}} mà mô men động lượng của hành tinh L = m r 2 d θ / d t = c o n s t {\displaystyle L=mr^{2}d\theta /dt=const} thay vào công thức trên ta có d A d t = 1 2 L m = c o n s t . {\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {L}{m}}=const.} Chứng minh bằng hình học của Newton Ở hình trên, chấm vàng lớn là Mặt Trời, chấm xanh nhỏ là hành tinh. Mũi tên xanh ký hiệu cho vận tốc tức thời của hành tinh. Nếu không có lực hút của Mặt Trời, hành tinh sẽ tiếp tục chuyển động theo đường thẳng với vận tốc không đổi. Sau một khoảng thời gian cố định nó đến vị trí mới. Ở vị trí mới này có một lực hút (hấp dẫn) hướng tâm (mũi tên đỏ) làm thay đổi đường đi của hành tinh, thể hiện bởi mũi tên hồng. Bằng cách so sánh diện tích ba tam giác có đỉnh ở vị trí Mặt Trời và đỉnh ở các vị trí của hành tinh, từng cặp tam giác có chung cạnh đáy (hoặc chung chiều cao) và chiều cao bằng nhau (hoặc cạnh đáy bằng nhau) (do chúng ta lấy những khoảng thời gian bằng nhau (mũi tên xanh) và ở đây Newton coi lực hút hấp dẫn hướng tâm (mũi tên đỏ) ở hai vị trí của hành tinh là song song với nhau, do r rất lớn) cho nên diện tích của chúng bằng nhau. Điều này chứng minh định luật hai Kepler.